ACAFE Verão 2022: Matemática

22. (ACAFE 2022) Analise as afirmações:

I. Sejam os conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ+ / 𝑥² −2𝑥 − 8 ≤ 0} e 𝐵 = { 𝑥 ∈ ℤ− /−3𝑥 − 12 ≤ 0} e 𝐶 = {𝑎 ∙ 𝑏 tal que 𝑎 𝜖 𝐴 𝑒 𝑏 𝜖 𝐵}, então 𝑛(𝐶) = 10.

II. Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais tais que 𝑎 + 𝑏 = 4 e 𝑎² + 𝑏² = 36, então 𝑎³ + 𝑏³ = 184.

III. Seja o conjunto 𝐴 = {0, 1, 2, 3, 4}, então 𝐴 ∩ {2, 5} = 2.

IV. Sejam 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, se 2^𝑥 = 7^𝑦 = 2 744, então 1/𝑥 + 1/𝑦 = 1/3 . Assinale a alternativa que contém todas as afirmações CORRETAS.

1. I, III.
2. I, II, IV.
3. II, IV.
4. II, III, IV.

23. (ACAFE 2022) Analise as afirmações:

I. Um conjunto finito 𝑇 de números naturais é chamado de egoísta se o seu tamanho pertence a 𝑇. Por exemplo, 𝑇 = {2, 3, 7} é egoísta, pois o tamanho de 𝑇 é 3 e 3 ∈ 𝑇. Então a quantidade total de subconjuntos egoístas de {1, 2, … , 10} é 512.

II. Sejam os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3, 4} e 𝐵 = {5, 6,7}, a probabilidade de escolher, aleatoriamente, um par ordenado do produto cartesiano 𝐵 × 𝐴 em que a soma das suas coordenadas seja um número par, sabendo que a sua ordenada é par, é 1/6 .

III. A área da região formada pela intersecção do 4º quadrante com 𝑓(𝑥) ≥ 0 tal que 𝑓: ℝ → ℝ e 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1| − 1, é de 2 unidades de área.

Assinale a alternativa que contém todas as afirmações CORRETAS.

1. I, III.
2. II.
3. I.
4. II, III.

24. (ACAFE 2022) Analise as afirmações:

I. Um comerciante vende um produto cujo preço à vista é de 𝑅$618,00 em três prestações mensais iguais e consecutivas. Sabendo que a primeira prestação é paga um mês após a compra, e que o juro composto é de 3% ao mês, utilizando 1,032 = 1,06 e 1,033 = 1,09, então o valor de cada prestação é 𝑅$218,00.

II. Do 1º termo até o 24009º termo da sequência (0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 2, . . . ) temos 8002 termos iguais a 1.

III. Um capital de 𝑅$2 000,00, investido pelo período de 10 anos a uma taxa de juros simples de 8% ao ano, gera um montante de 𝑅$3 800,00.

IV. 1,4999 … = 3/2.

Assinale a alternativa que contém todas as afirmações CORRETAS.

1. I, III.
2. II, III.
3. II, IV.
4. I, IV.

25. (ACAFE 2022) Analise as afirmações a seguir, e assinale a alternativa correta.

1. O período da função 𝑓(𝑥) = 4,2 +0,5 ∙ 𝑐𝑜𝑠(2𝜋 ∙ 𝑥 + 3) é 2𝜋/3.
2. O valor máximo que a função 𝑓(𝑥) = 3 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 4 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 assume é igual a 5.
3. Sendo 𝛼 𝜖 [𝜋/2, 𝜋] e 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 5/13, então 𝑡𝑔(2𝛼) = − 5/6.
4. A equação 𝑡𝑔(2𝑥) = √3 possui 5 soluções no intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.

26. (ACAFE 2022) Analise as afirmações:

I. A inequação $\frac{\mathrm{(𝑥²-6𝑥+8)\bullet (𝑥²+2𝑥+3)}}{\mathrm{(𝑥²-4𝑥+4)(𝑥-1)}}$ ≤ 0 possui duas soluções inteiras e positivas.

II. O tempo necessário para que o capital, aplicado a juro composto de 7% ao mês, quadruplique é de 20 meses. (utilizando 𝑙𝑜𝑔1,07 = 0,03 e 𝑙𝑜𝑔2 = 0,3).

III. As raízes de 𝑃(𝑥) = 2𝑥³ − 5𝑥² + 𝑥 + 2 são números inteiros.

IV. Na figura, abaixo, tem-se um retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷, inscrito em uma circunferência de centro 𝑂, se 𝐴𝐵 = 7 𝑐𝑚, 𝐵𝐶 = 24 𝑐𝑚 e 𝐸𝐶 = $\frac{7}{2}$ 𝑐𝑚 então 𝐷𝐹 = $\frac{\mathrm{25}}{3}$ 𝑐𝑚.

Assinale a alternativa que contém as afirmações CORRETAS

1. A. I, IV.
2. II, IV.
3. I, II, IV.
4. I, II, III.

27. (ACAFE 2022) Analise as afirmações:

I. As áreas das faces de um paralelepípedo reto retângulo medem 3√10 𝑚², 2√15 𝑚² e 5√6 𝑚², então seu volume mede 30 𝑚³.

II. Seja um quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 inscrito em uma circunferência de raio 𝑟 = 6, se 𝐹 é um ponto sobre a circunferência e distinto dos pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷, então 𝐴𝐹² + 𝐵𝐹² + 𝐶𝐹² + 𝐷𝐹² = 144.

III. O topo do mastro de uma bandeira é visto sob um ângulo de 45° de um ponto 𝐴, situado ao norte do mastro, e visto sob um ângulo de 60° de um ponto 𝐵, situado a oeste do mastro. Se o segmento ̅𝐴𝐵̅̅̅ mede 16√3 𝑚 então a altura do mastro é de 24 𝑚.

IV. Um triângulo 𝐴𝐵𝐶 possui área igual a 40 𝑚². Seja 𝑃 um ponto sobre o lado 𝐴𝐶̅̅̅̅ tal que 𝑃𝐶 = 3 ∙ 𝑃𝐴 e 𝑄 um ponto sobre o lado ̅𝐴𝐵̅̅̅ tal que 𝐴𝑄 = 𝐵𝑄, então a área do triângulo 𝐶𝑃𝑄 é igual a 15 𝑚².

Assinale a alternativa que contém todas as afirmações CORRETAS.

1. I, III, IV.
2. I, II, IV.
3. II, III, IV.
4. I, II, III.

28. (ACAFE 2022) A região, no plano cartesiano, obtida pelo sistema de inequações , quando rotacionada em torno da reta 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 gera um sólido de revolução com volume igual a:

1. 2𝜋√2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒.
2. 𝜋 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒.
3. 2𝜋 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒.
4. 𝜋√2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒.