IME 2022: Matemática

01. (IME 2022) Seja o sistema

O valor de

1. 12
2. 4/3
3. 2/3
4. 1/3
5. 9

02. (IME 2022) Seja B o conjunto de todos os valores de x ∈ IR para os quais a soma dos termos da progressão

assume um valor finito. Define-se a função f : B → IR, para cada x ∈ B, tal que

A soma das raízes da equação f(x) = −x, x ∈ B, é:

1. 0
2. −2
3. −4/3
4. 2/3
5. 4/3

03. (IME 2022) Considere o conjunto de todas as retas que são secantes ao gráfico da função

e que passam pelo ponto

O menor valor dentre os coeficientes angulares das retas desse conjunto é:

1. −3ln (3)
2. 1/2 ln (1/3)
3. 3ln (13/36)
4. 0
5. 1/2

04. (IME 2022) Quantos pares ordenados (x, y) de números inteiros satisfazem a equação 1/x + 1/y = 1/23

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

05. (IME 2022) Seja α ∈ IR e z1 , z2 , z3 números complexos tais que |z1 | = |z2 | = |z3 | = 4 e z1 ≠ z2. O menor valor de |αz1 − (α − 1)z2 − z3 |, é:

1. 1/8 |z1 + z2|
2. 1/4 |z1 − z2|
3. 1/8 |z3 − z1||z3 − z2|
4. 1/4 |z1 − z2 − z3|
5. |z3|

06. (IME 2022) Seja o número complexo z = (1 − 2 √ 2i)¹². Sabe-se que m = |z|. O valor de x na expressão 2x = log_m(27m) é:

1. 15/14
2. 5/14
3. 5/8
4. 15/4
5. 3

07. (IME 2022) Seja a equação do terceiro grau em x:

x³ + p1x² + p2x + p3 = 0

onde p1 < p2 < p3 são números primos menores que 100. Para que a razão entre a soma e o produto das raízes da equação seja a maior possível, o valor de p2 + p3 deve ser:

1. 144
2. 152
3. 162
4. 172
5. 196

08. (IME 2022) Os valores para s e t são escolhidos no intervalo (0, r), tais que s + t < r. Considere três segmentos de reta com comprimentos s, t e r – s – t. Qual a probabilidade desses segmentos formarem um triângulo?

1. 2/3
2. 1/2
3. 1/3
4. 1/4
5. 3/4

09. (IME 2022) Considere o quadrado de lado L apresentado na Figura A. Ao aplicar uma determinada operação de corte, obtem-se a Figura B e repetindo a operação, em cada quadrado remanescente, obtemse a Figura C. Qual será a área remanescente, a partir da quadrado da Figura A, ao final de 10 operações?

10. (IME 2022) Considere as propriedades dos coeficientes binomiais. Qual das seguintes identidades está incorreta?

11. (IME 2022) Seja a matriz quadrada A de ordem 2021 cujo o elemento da linha i e coluna j é

com i, j ∈ {1, 2, · · · , 2021}. O valor do determinante de A é:

1. −2021
2. 2021
3. 0
4. 1
5. −1

12. (IME 2022) Para cada número n natural, seja a função real fn(x) definida para cada x ∈ IR, tal que x 6= (k + 1)π/2, ∀k ∈ Z, de forma que:

A função g(x) que atende g(x) = f6(x) − f4(x) + 1/3 é:

1. cos(x) + 3
2. 1/4
3. sen(x) − 2
4. 1/12
5. tg(x) − 1/3

13. (IME 2022) Considere o ponto A(−4, 2) e B um ponto variável sobre o eixo das ordenadas. Traçam-se as retas AB e por B, a perpendicular a AB que intercepta o eixo das abcissas em C. Seja a equação do lugar geométrico do ponto de interseção da perpendicular ao eixo das abcissas traçada por C com a perpendicular ao eixo das ordenadas traçada por B. A equação desse lugar geométrico é:

1. x²= 4y + 1
2. y²= 4x
3. y = −x + 2
4. x² + (y − 2)² = 4
5. (y − 1)² = 4x + 1

14. (IME 2022) Considere os triângulos ΔABC em que BC = 32 e AB/AC = 3. O maior valor possível para a altura relativa ao lado BC é:

1. 8
2. 9
3. 10
4. 11
5. 12

15. (IME 2022) Seja o cone de revolução de raio de base R e altura 3R/2 com a base apoiada em um solo horizontal.

Um ponto luminoso está localizado a uma altura 3R do solo e distante, horizontalmente, 2R do centro da base do cone. A área S da região iluminada no cone é:

1. πR²√13
2. 2πR²√13/3
3. πR²√13/2
4. πR²√13/3
5. 13/4 πR²