ITA 2021: Matemática

1. (ITA 2021) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem ímpar. Suponha que A é simétrica e que B é antissimétrica. Considere as seguintes afirmações:

I. (A + B)² = A² + 2AB + B².

II. A comuta com qualquer matriz simétrica.

III. B comuta com qualquer matriz antissimétrica.

IV. det (A B) = 0.

É(são) VERDADEIRA(S):

1. nenhuma.
2. apenas I.
3. apenas III.
4. apenas IV.
5. apenas II e IV.

2. (ITA 2021) Seja S ⊂ R o conjunto solução da inequação (x² + x + 1)^2x²−x−1 ≤ 1. Podemos afirmar que

1. S = [−1, 1].
2. S = [−1, $-\frac{1}{2}$].
3. S = [0, 1].
4. S = [−1, $-\frac{1}{2}$] ∪ [0, 1] .
5. S é o conjunto vazio

3. (ITA 2021) Os vértices da base de um triângulo isóceles P QR, inscrito numa circunferência de centro O = (5, 0), são P = (4, 2√2) e Q = (8, 0). Se o vértice R pertence ao primeiro quadrante, então a área do triângulo PQR é igual a

1. √2(3 - √3)
2. √3(3 + √3)
3. √3(3 - √3)
4. √6(3 + √3)
5. √6(3 - √3)

4. (ITA 2021) Considere a curva plana definida pela equação 9x² + 4y² + 36x + 24y + 36 = 0. O ponto P = (0, 0) é vértice de um retângulo circunscrito à curva. Então a equação da circunferência ao retângulo é:

1. (x + 2)² + (y + 3)² = 9.
2. (x + 3)² + (y + 2)² = 9.
3. (x − 2)² + (y − 3)² = 13.
4. (x + 2)² + (y + 3)² = 13.
5. (x + 3)² + (y + 2)² = 13.

5. (ITA 2021) Considere um triângulo ABC tal que Então, o raio da circunferência inscrita ao triângulo é igual a:

1. 2
2. 2√2
3. 3
4. 4
5. 4√2

6. (ITA 2021) Seja S o subconjunto do plano cartesiano constituído pela união dos gráficos das funções f(x) = 2^x, g(x) = 2^−x e h(x) = log₂ x, com x > 0. Para cada k > 0 seja n o número de interseções da reta y = kx com S. Podemos afirmar que:

1. n ≠ 1 para todo k > 0.
2. n = 2 para pelo menos três valores distintos de k.
3. n = 2 para exatamente dois valores distintos de k.
4. n ≠ 3 para todo k > 0.
5. O conjunto dos k > 0 para os quais n = 3 é a união de dois intervalos disjuntos.

7. (ITA 2021) A única solução real da equação

7^x = 59^x−1

pertence ao intervalo:

1. $(0,\frac{2}{5}]$
2. $(\frac{2}{5},\frac{4}{3}]$
3. $(\frac{4}{3},\frac{5}{2}]$
4. $(\frac{5}{2},\frac{10}{3}]$
5. $(\frac{10}{3},4]$

8. (ITA 2021) Seja A uma matriz real quadrada de ordem 2 tal que

Então, o traço da matriz A é igual a:

1. 0
2. 1
3. 2
4. 3
5. 4

9. O número de triângulos, dois a dois não congruentes, de perímetro 87, cujos lados, dispostos em ordem crescente de comprimento, são números inteiros em progressão aritmética de razão não nula, é igual a:

1. 12.
2. 14.
3. 16.
4. 18.
5. 20.

10. (ITA 2021) Seja ABCD um quadrilátero convexo com diagonais AC e BD. Considere as afirmações:

I. Se as diagonais AC e BD têm mesmo comprimento e se intersectam ortogonalmente, então ABCD é um losango.

II. Se as diagonais AC e BD dividem o quadrilátero ABCD em quatro triângulos de mesma área, então ABCD é um paralelogramo.

III. Se o ponto de interseção das diagonais AC e BD é o centro do círculo que circunscreve o quadrilátero ABCD, então ABCD é um retângulo.

É(são) VERDADEIRA(S)

1. apenas I.
2. apenas II.
3. apenas III.
4. apenas I e II.
5. apenas II e III.

11. (ITA 2021) Considere as seguintes afirmações:

I. Se a medida do ângulo agudo entre uma reta r e um plano α é 45°, então existe uma reta s contida em α tal que a medida do ângulo agudo entre r e s é 30°.

II. Se uma reta r é perpendicular a duas retas distintas s e t contidas em um plano α, então r é perpendicular a α.

III. Sejam r, s e t as três retas distintas determinadas por três pontos não colineares. Então, existe um único ponto equidistante de r, s e t.

IV. Se P e Q são pontos à mesma distância de um plano α, então o ponto médio do segmento PQ pertence a α.

É(são) VERDADEIRA(S):

1. nenhuma.
2. apenas I e II.
3. apenas I e III.
4. apenas III e IV.
5. apenas II, III e IV.

12. (ITA 2021) Um dodecaedro regular tem 12 faces que são pentágonos regulares. Escolhendo-se 2 vértices distintos desse dodecaedro, a probabilidade de eles pertencerem a uma mesma aresta é igual a:

1. $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{100}}$
2. $\frac{3}{\mathrm{19}}$
3. $\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{190}}$
4. $\frac{5}{\mathrm{12}}$
5. $\frac{2}{5}$

13. (ITA 2021) Pretende-se distribuir 48 balas em 4 tigelas designadas pelas letras A, B, C e D. De quantas maneiras pode-se fazer essa distribuição de forma que todas as tigelas contenham ao menos 3 balas e a tigela B contenha a mesma quantidade que a tigela D.

1. 190.
2. 361.
3. 722.
4. 1083.
5. 1444

14. (ITA 2021) Seja z ∈ C. Se a representação dos números 4, z + 2 e z² no plano complexo são vértices de um triângulo equilátero, então o comprimento do seu lado é igual a:

1. 3.
2. √10.
3. √11.
4. 2√3.
5. √13

15. (ITA 2021) Seja p(x) um polinômio com coeficientes inteiros tal que p(51) = 391 e 0 ≤ p(3) < 12. Então, p(3) é igual a:

1. 5
2. 6
3. 7
4. 8
5. 9