ITA 2023: Matemática

37. (ITA) Considere A ∈ M₃(R) tal que existe um único número real x que satisfaz a equação det (M³√2x²A) + det(x A³) = det A².

Então, x + det A é

1. –5.
2. – 4.
3. –3.
4. –2.
5. –1

38. (ITA) Sejam z ∈ C e f(z) = z² + i. Para cada n ∈ R, definimos f⁽¹⁾(z) = f(z) e f⁽ⁿ⁾(z) = f(f^n-1(z)).

Então,⁽²⁰²³⁾(0) é

1. 1 – i.
2. i – 1.
3. –i –i.
4. i.
5. –i.

39. (ITA) Considere as afirmações:

I. Se P é um polígono convexo de n lados iguais, então P é um polígono regular.

II. Seja P um polígono convexo de 6 lados. Se seus ângulos internos, listados em ordem crescente, formam uma progressão aritmética, então a soma do menor e do maior ângulo interno de P é 240°.

III. Existe um polígono convexo de 100 lados cujos ângulos internos, listados em ordem crescente, formam uma progressão aritmética de razão r = 1°.

É (são) sempre verdadeira(s):

1. apenas I.
2. apenas II.
3. apenas III.
4. apenas II e III.
5. nenhuma.

40. (ITA) A média harmônica de n números reais positivos a1, a2, ..., an é

Sabendo que o polinômio p(x) = 30x³ – 113x² + 108x – 30 possui três raízes reais positivas, a média harmônica das raízes de p(x) é

1. 2/3
2. 5/18
3. 5/6
4. 1
5. 3

41. (ITA) Sejam f e g funções reais definidas da seguinte forma:

f(x) = 3²ˣ e g(x) = 3ˣ – 2ˣ. Considere as afirmações:

I. g(x) ≥ 0, para todo x ∈ R.

II. f(x) ≥ g(x), para todo x ∈ R.

III. f(x) + g(x) ≥ 0, para todo x ∈ R.

É (são) sempre verdadeira(s):

1. apenas I.
2. apenas II.
3. apenas III.
4. todas.
5. nenhuma.

42. (ITA) Seja ABC um triângulo retângulo tal que BÂC = 30° Considere D um ponto na hipotenusa AC e retas r e s passando por D, paralelas aos lados AB e BC respectivamente. Se E = r ∩ BC F = s ∩ AB e m(B) = 1 o menor valor possível para m(EF) é

1. √2/5
2. √2/2
3. √3/3
4. √3/2
5. √3

43. (ITA) Dado z = 5 – 5i ∈ C, definimos f(n) = | z ⁽²ⁿ⁺¹⁾ + Ž ^{(2n + 1)} | para cada n ∈ N. A soma de f(n) para n de 1 até 20 é

1. 250(50²¹ − 1)/49.
2. 500√2(50²⁰ − 1)/49.
3. 1000(50²¹ − 1)/49.
4. 500(50²⁰ − 1)/49.
5. nenhuma das alternativas anteriores.

44. (ITA) Considere a hipérbole H de equação x² - $\frac{\mathrm{y²}}{4}$

Seja T um triângulo de vértices P, F₁, F₂, onde F₁ e F₂ são os focos de H e F um ponto em H. Sabendo que o perímetro de T é 5√5, o produto da medida dos lados de T é

1. $\frac{\mathrm{41\surd 5}}{2}$
2. $\frac{41}{4}$
3. $\frac{\mathrm{41\surd 5}}{4}$
4. $\frac{41}{8}$
5. $\frac{\mathrm{41\surd 5}}{8}$

45. (ITA) Um conjunto de moedas é lançado sucessivas vezes. Em cada lançamento, todas as moedas que resultam em coroa, e apenas estas, são retiradas. As demais moedas permanecem para o próximo lançamento.

O jogo termina quando todas as moedas tiverem sido retiradas. A probabilidade de o jogo durar mais do que três rodadas, se for iniciado com quatro moedas, é

1. 1341/4096.
2. 1695/4096.
3. 2049/4096.
4. 2401/4096.
5. 2755/4096.

46. (ITA) A medida da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a 10 em. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno de um eixo que contém a hipotenusa é 30π em³.

O perímetro desse triângulo é, em cm, igual a

1. 10 + 4√7.
2. 10 + 5√7.
3. 10 + 2√10.
4. 10 + 3√10.
5. 10 + 4√10.

47. (ITA) Considere a função real

f(x) = cos(x) · [cos $\frac{\mathrm{x}}{3}$ + 2 sen (x)] i − sen (x) · sen ($\frac{\mathrm{x}}{3}$) − 2,

definida no intervalo I = ]4π, 4π[. Sobre a equação f(x) = 0, podemos afirmar que

1. não admite soluções em I.
2. admite uma única solução em I.
3. admite exatamente duas soluções em I.
4. admite exatamente três soluções em I.
5. admite exatamente quatro soluções em I.

48. (ITA) Na expansão de [1 + x² – x³ + x⁴]¹⁰, a soma de todos os coeficientes das potências múltiplas de 3 é

1. 114.
2. 228.
3. 342.
4. 456.
5. 570.