UFPR 2023: Matemática

01. (UFPR 2024) Beatriz estava na escadaria de seu prédio, que tem 32 degraus, numerados conforme a figura ao lado. Ela, primeiramente, desceu 6 degraus e depois subiu 12 degraus, percebendo que ainda faltavam 5 degraus para chegar no topo da escadaria. Em que degrau ela estava inicialmente?

1. 10
2. 12
3. 17
4. 21
5. 27

02. (UFPR 2024) Ana quer descobrir a senha do celular de seu irmão Carlos, a qual é formada por uma sequência de quatro dígitos numéricos dentre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Ela sabe que o irmão sempre usa, em suas senhas, os três dígitos de sua residência: 4, 6 e 8. Recentemente, ela descobriu que o número formado pela senha é ímpar. De acordo com essas informações, quantas possibilidades Ana deve considerar para descobrir a senha de Carlos?

1. 8
2. 11
3. 15
4. 24
5. 30

03. (UFPR 2024) Duas retas no plano se intersectam no ponto 𝑷, formando um ângulo reto. Além disso, essas retas são tangentes a uma circunferência nos pontos 𝑸 e 𝑹, conforme ilustra a figura ao lado. Sabendo que o perímetro da região hachurada mede (𝟐𝝅 + 𝟖) 𝒄𝒎, assinale a alternativa que corresponde à medida do raio da circunferência em 𝒄𝒎.

1. 2
2. 3
3. 4
4. 5
5. 6

04. (UFPR 2024) Sejam p(x) = x + a e q(x) = x² - b funções, com 𝒂 e 𝒃 números reais. Sabendo que 𝒓 = 1/2 é a única raiz da função composta 𝒇(x) = q(p(x)), assinale a alternativa que corresponde à soma a + b.

1. -2
2. -1
3. - 1/2
4. 1/2
5. 2

05. (UFPR 2024) Sabendo que 𝒔𝒆𝒏(2x) = 𝟑/𝟓, assinale a alternativa que corresponde ao valor de [sex(x) + cos(x)]².

1. 0,8
2. 1,0
3. 1,2
4. 1,4
5. 1,6

06. (UFPR 2024) Considere a função 𝒇(x) = -x² + 6x - 8. No plano cartesiano, sejam 𝑷 e 𝑸 as intersecções do gráfico de 𝒇 com o eixo 𝒙. Sendo 𝑹 (a, b) um ponto do gráfico de 𝒇, com 𝒃 > 0, assinale a alternativa que corresponde ao maior valor numérico possível da área do triângulo 𝑷𝑸R

2. 1
3. 2
4. 3
5. 4
6. 6

07. (UFPR 2024) A circunferência 𝑪 na figura ao lado está centrada no ponto 𝑨 = (1, 1) e tangencia os eixos coordenados. A reta 𝒓 passa pela origem 𝑶 e pelo ponto 𝑨, intersectando a circunferência no ponto 𝑷, conforme indica a figura. A reta 𝒔 é tangente à circunferência no ponto 𝑷 e intersecta o eixo 𝒙 no ponto 𝑸. Assinale a alternativa que corresponde à abcissa do ponto 𝑸.

²
1. 2 √2
2. 3√2 - 1
3. 1 + 2√2
4. 4√2 - 2
5. 2+√2

08. (UFPR 2024) Um bolo é retirado do forno e começa a resfriar segundo a expressão T(t) = 30 + 150a ^-0,05t, com a > 1, sendo 𝑻 a temperatura do bolo e 𝒕 o tempo decorrido em minutos. Assinale a alternativa que corresponde ao tempo em que o bolo atingirá a metade da temperatura inicial que apresentava quando foi retirado do forno em 𝒕 = 𝟎. (Use se necessário 𝐥𝐨𝐠_𝒂 𝟐 = 𝟎,𝟕 e 𝐥𝐨𝐠_𝒂𝟓 = 𝟏,𝟔).

1. 10 minutos
2. 12 minutos
3. 16 minutos
4. 18 minutos
5. 22 minutos

09. (UFPR 2024) Um cone circular reto 𝑺 é dividido por dois planos paralelos à sua base, formando três sólidos 𝑺𝟏, 𝑺𝟐 e 𝑺𝟑, conforme a figura ao lado. Os volumes de 𝑺𝟏, 𝑺𝟐 e 𝑺𝟑, nessa ordem, estão em progressão geométrica com razão 𝒒>𝟏. O quociente entre o raio do cone 𝑺 e o raio do cone menor 𝑺𝟏 é igual a ³√𝟕. Assinale a alternativa que corresponde à razão 𝒒.

2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 7