UNICAMP 2022-1: Matemática

13. (Unicamp 2022) Certo país adquiriu 5.000.000 de doses das vacinas Alfa, Beta e Gama, pagando um preço de $40.000.000,00 pelo total. Cada dose das vacinas Alfa, Beta e Gama custou $5,00, $10,00 e $20,00, respectivamente. Sabendo que o número de doses adquiridas da vacina Beta é o triplo do número de doses adquiridas da vacina Gama, o número de doses adquiridas da vacina Alfa foi de:

1. 1.500.000.
2. 2.000.000.
3. 2.500.000.
4. 3.000.000.

14. (Unicamp 2022) Certo modelo de carro é vendido em duas versões: uma a gasolina e outra híbrida. Essa última versão conta com um motor elétrico para funcionar em baixas velocidades, reduzindo, assim, o consumo de combustível e também os índices de poluição.

A versão a gasolina custa R$ 150.000,00 e a versão híbrida custa R$ 180.000,00. A tabela a seguir indica o consumo de combustível de cada uma das versões:

Note que a versão híbrida é mais econômica, porém custa mais caro.

Um motorista faz diariamente um percurso de 36 km na cidade e de 56 km na estrada. Considerando que cada litro de gasolina custa R$ 5,00 e que, ao longo do tempo, esse preço será constante e o percurso não se alterará, quantos anos de uso serão necessários para que a economia no abastecimento compense o preço mais alto pago inicialmente pelo carro híbrido?

1. Mais que 8 e menos que 10 anos.
2. Mais que 10 e menos que 12 anos.
3. Mais que 12 e menos que 14 anos.
4. Mais que 14 e menos que 16 anos.

15. (Unicamp 2022) As figuras abaixo ilustram, respectivamente, os gráficos das funções 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥).

Então 𝑓(𝑔(−1)) − 𝑔(𝑓(1)) vale:

1. 1.
2. 2.
3. 3.
4. 4.

16. (Unicamp 2022) Dados os números reais positivos 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛, a média geométrica 𝑀 destes termos é calculada por:

A média geométrica de 1, 10, 100, … , 10²² é:

1. 10¹¹.
2. 10¹².
3. 10¹³.
4. 10¹⁴.

USE O TEXTO A SEGUIR PARA RESPONDER ÀS QUESTÕES 17 E 18.

Para conter uma certa epidemia viral, uma vacina será aplicada a uma população. Sabe-se que:

• a efetividade de uma vacina pode ser entendida como sendo a porcentagem dos indivíduos vacinados que estarão imunes à doença; e

• para controlar a epidemia, a porcentagem mínima de uma dada população a ser imunizada é dada pela fórmula 𝐼(𝑅0) = 100(𝑅0 − 1)/𝑅0, em que 𝑅0 > 1 é um valor associado às características da epidemia.

Assume-se, ainda, que uma eventual imunização somente é adquirida por meio da vacina.

17. (Unicamp 2022) Em relação à epidemia e à vacinação, é correto afirmar que

1. a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia é sempre maior que 50%.
2. para uma vacina, quanto maior 𝑅0, menor a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia.
3. para uma vacina, quanto maior 𝑅0, maior a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia.
4. para um dado 𝑅0, quanto maior a efetividade da vacina, maior a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia.

USE O TEXTO A SEGUIR PARA RESPONDER ÀS QUESTÕES 17 E 18.

Para conter uma certa epidemia viral, uma vacina será aplicada a uma população. Sabe-se que:

• a efetividade de uma vacina pode ser entendida como sendo a porcentagem dos indivíduos vacinados que estarão imunes à doença; e

• para controlar a epidemia, a porcentagem mínima de uma dada população a ser imunizada é dada pela fórmula 𝐼(𝑅0) = 100(𝑅0 − 1)/𝑅0, em que 𝑅0 > 1 é um valor associado às características da epidemia.

Assume-se, ainda, que uma eventual imunização somente é adquirida por meio da vacina.

18. (Unicamp 2022) Assuma que 𝑅0 = 2. Sabendo que uma dada vacina tem 80% de efetividade, em qual dos intervalos se encontra a porcentagem mínima da população que deve ser vacinada para controlar a epidemia?

1. Entre 46% e 55%.
2. Entre 56% e 65%.
3. Entre 66% e 75%.
4. Entre 76% e 85%.

19. (Unicamp 2022) Um círculo está inscrito em um quadrilátero ABCD. Seja 𝑇 o ponto de tangência do lado 𝐷𝐴 com o círculo. Sabe-se que as medidas dos lados 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 e 𝐶𝐷 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética crescente de números inteiros e que a medida do lado 𝐷𝐴 é 3. Considerando que a medida do segmento 𝑇𝐴 é um número inteiro, as medidas dos lados 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 e 𝐶𝐷 são, respectivamente:

1. 1, 3, 5.
2. 2, 3, 4.
3. 2, 4, 6.
4. 3, 4, 5.

20. (Unicamp 2022) Considere a matriz

e seja 𝐵 = 𝐴 + 𝐴𝑇, onde 𝐴𝑇 é a transposta da matriz 𝐴.

Sobre o sistema

é correto afirmar que:

1. se 𝑘 = 0, o sistema não tem solução.
2. se 𝑘 = −1, o sistema tem infinitas soluções.
3. se 𝑘 = −1, o sistema não tem solução.
4. se 𝑘 = 3, o sistema tem infinitas soluções.

21. (Unicamp 2022) Pedra-papel-tesoura, também chamado jankenpon ou jokempô, é um jogo recreativo para duas pessoas. Nesse jogo, os participantes usam as mãos para representar os símbolos de pedra, papel e tesoura, conforme mostrado nos emojis a seguir:

Pedra: 👊

Papel: ✋

Tesoura: ✌

Pelas regras do jogo, o participante que escolher “pedra” ganha do que escolher tesoura; o participante que escolher tesoura ganha do que escolher papel; por fim, o que escolher papel ganha do que escolher pedra. Se ambos escolherem os mesmos símbolos, eles empatam.

Admitindo que os participantes escolhem os símbolos com igual probabilidade, qual a chance de acontecer pelo menos um empate em três partidas?

1. 16/27.
2. 17/27.
3. 18/27.
4. 19/27.

22. (Unicamp 2022) A parábola 𝑦 = −𝑥² + 𝑏𝑐 + 𝑐 intercepta o eixo 𝑥 nos pontos (𝑝, 0) e (𝑞, 0). Sabe-se que ela intercepta uma única vez cada uma das retas dadas pelas equações 𝑦 = 2𝑥 + 1 e 𝑦 = 1 − 𝑥/2. O valor de 𝑝 + 𝑞 é:

1. 2/3.
2. 4/3.
3. 3/4.
4. 3/2.

23. (Unicamp 2022) O polinômio 𝑝(𝑥) = 2𝑥³ + 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 é divisível por 2𝑥² − 𝑥 + 4. O valor de 𝑐 + 2𝑏 − 𝑎 é:

1. 9.
2. 15.
3. 21.
4. 25.

24. (Unicamp 2022) No dia 23 de março de 2021, um navio encalhou no canal de Suez, no Egito. A embarcação tinha 400 metros de comprimento e 60 metros de largura. No ponto onde aconteceu o acidente, o canal de Suez não tem mais do que 200 metros de largura. Abaixo apresentamos uma foto de satélite e uma figura representando a situação. O ângulo 𝛼 indicado na figura abaixo mede 67,5°.

A largura do canal, medida em metros e indicada por 𝐿 na figura anterior, é:

Dados:

• cos(2𝜃) = 2 cos2(𝜃) − 1

• sen(2𝜃) = 2sen(𝜃) cos(𝜃).