UNICAMP 2023: Matemática

45. (Unicamp) Um recipiente de 30 litros contém uma solução de 14 partes de álcool e 1 parte de água. Quantos litros de água devem ser adicionados para que se tenha uma solução com 70% de álcool?

1. 8 litros.
2. 10 litros.
3. 12 litros.
4. 14 litros.

46. (Unicamp) A seguir, são apresentadas quatro funções, definidas para x ∈ R; são também apresentados quatro esboços de gráficos.

A opção que descreve corretamente a correspondência entre as funções e seus gráficos é:

1. (i) e g(x); (ii) e h(x); (iii) e p(x); (iv) e f(x).
2. (i) e h(x); (ii) e g(x); (iii) e f(x); (iv) e p(x).
3. (i) e p(x); (ii) e h(x); (iii) e g(x); (iv) e f(x).
4. (i) e f(x); (ii) e g(x); (iii) e p(x); (iv) e h(x).

47. (Unicamp) Uma forma de apresentar dados é usar um gráfico de radar. Este tipo de gráfico é composto por segmentos uniformemente espaçados, dispostos em torno de um ponto.

Os segmentos representam diferentes valores, valores esses que aumentam conforme a distância em relação ao centro se torna maior. Gráficos de radar são frequentemente usados em jogos eletrônicos para representar o desempenho, em diferentes aspectos, dos personagens.

Enzo tem uma livraria e vende obras dos gêneros Romance, Ficção, Tecnologia, Biografias e Infantil. Ele representou no gráfico de radar, a seguir, quantas obras diferentes de cada um desses gêneros foram vendidas em 2020 e 2021.

Por exemplo, em 2021, foram vendidas 20 obras do gênero Tecnologia. Note que o gráfico não indica quantos exemplares de cada obra foram efetivamente vendidos, indica apenas o número de obras que tiveram exemplares vendidos para os gêneros indicados.

Sobre os dados apresentados no gráfico, é correto afirmar que

1. o gênero que teve maior quantidade de obras vendidas, considerando os dois anos, foi Biografias, cuja venda foi o triplo da venda do gênero que teve menos obras vendidas.
2. os únicos gêneros que venderam mais obras em 2021, quando em comparação com as vendas de 2020, foram os gêneros Ficção e Infantil.
3. o número de obras do gênero Romance que foram vendidas em 2021 é o dobro do que foi vendido em 2020 para este mesmo gênero.
4. a quantidade de obras vendidas, do gênero Infantil, nos dois anos, é a mesma quantidade de obras vendidas, no mesmo período de tempo, do gênero Biografias.

48. (Unicamp) Três números reais distintos a, b, c são tais que a, b, c e ab, bc, ca formam, nessas ordens, duas progressões aritméticas de mesma razão. O valor do produto abc é

1. 1.
2. 1/8.
3. −1.
4. 6.

49. (Unicamp) Suponha que uma função ƒ(x) satisfaça à propriedade

ƒ(x . y) = ƒ(x) + ƒ(y).

Sabendo que ƒ(7) = 2 e ƒ(17) = 3, o valor de ƒ(2023) é

1. 7.
2. 8.
3. 17.
4. 18.

50. (Unicamp) Um recipiente cilíndrico de altura h tem água em seu interior. Ao mergulhar uma esfera de chumbo de raio R neste recipiente, a água cobre a esfera e nenhuma quantidade de água se perde, como ilustrado na figura a seguir.

Sabendo que o raio da base do cilindro é o dobro do raio da esfera, a diferença entre a altura da água antes e depois do mergulho da esfera é igual a

1. 2R.
2. R.
3. R/3.
4. 2R/3.

Leia o texto a seguir para responder às questões 51 e 52.

Uma transformação de Möbius é um quociente de polinômios de grau 1. Essas transformações são muito importantes em computação gráfica e também na área da engenharia conhecida como “processamento de sinais”.

Considere a função

y = ƒ(x) = x+1/x-1

definida para x ∈ R, x ≠ 1, que é uma versão simplificada de uma transformação de Möbius.

51. (Unicamp) Sobre a função inversa de ƒ(x), é correto afirmar que

1. f⁻¹(x) = ƒ(x), para x ≠ 1.
2. f⁻¹(x) = 1 / ƒ(x), para x ≠ ±1.
3. f⁻¹(x) = -ƒ(x), para x ≠ 1.
4. f⁻¹(x) = ƒ(-x), para x ≠ 1.

Leia o texto a seguir para responder às questões 51 e 52.

Uma transformação de Möbius é um quociente de polinômios de grau 1. Essas transformações são muito importantes em computação gráfica e também na área da engenharia conhecida como “processamento de sinais”.

Considere a função

y = ƒ(x) = x+1/x-1

definida para x ∈ R, x ≠ 1, que é uma versão simplificada de uma transformação de Möbius.

52. (Unicamp) Considere a sequência x1, x2,..., definida por x₁ = 6, e para cada n ≥ 1, temos x_n+1 = ƒ(x_a), ou seja,

x₁ = 6,

x₂ = ƒ(x₁) = 7/5,

x₃ = ƒ(x₂),

e assim sucessivamente. Então, a soma dos 100 primeiros termos desta sequência vale

1. 140.
2. 370.
3. 600.
4. 740.

53. (Unicamp) Para qual valor de a o sistema de equações lineares

admite infinitas soluções?

1. 1.
2. 2.
3. −1.
4. −2.

54. (Unicamp) A figura seguinte mostra um triângulo retângulo ABC. O ponto M é o ponto médio do lado AB, que é a hipotenusa.

A figura seguinte mostra um triângulo retângulo ABC. O ponto M é o ponto médio do lado AB, que é a hipotenusa.

O valor de sen α é

1. 24/25.
2. 5/6.
3. 1/2.
4. √3/2.

55. (Unicamp) Em um sorteio com cartelas numeradas de 0001 a 2000, João decidiu comprar todas as cartelas em que a numeração exibisse os números 2 e 5, e nenhuma a mais. Por exemplo, João comprou as cartelas 1205 e 0025, mas não comprou as cartelas 0514 e 2000.

Considere as afirmações:

I) João comprou 108 cartelas.

II) Se ao invés das cartelas com 2 e 5, João tivesse comprado as cartelas com 1 e 5, ele teria comprado menos cartelas.

III) João comprou 18 cartelas que possuem o número 3.

Assinale a alternativa correta:

1. Todas as afirmações são verdadeiras.
2. Apenas a afirmação I é verdadeira.
3. Apenas a afirmação II é verdadeira.
4. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.

56. (Unicamp) Na figura abaixo estão representados os gráficos de uma parábola, de uma reta, e o ponto P = (a,b), que é um dos pontos de interseção da reta com a parábola.

O valor de a + b é

1. −7,5.
2. −7.
3. −6,5.
4. −6.