08. (CMRJ) Dada a equação x4 + 4x2 - 45=0, podemos afirmar que:
- tal equação possui 4 raízes reais.
- duas de suas raízes são números racionais.
- a soma das suas raízes reais é igual a −4.
- o produto das suas raízes reais é igual a −5.
- o produto das suas raízes reais é igual a −45.
Resposta: D
Resolução: Para resolver uma equação biquadrada, fazemos uma mudança de variável.
x⁴ + 4x² - 45 = 0
Fazendo x² = y, essa equação será equivalente a:
y² + 4y - 45 = 0
Agora, resolveremos essa equação do 2° grau.
Os coeficientes são: a = 1, b = 4, c = - 45.
Cálculo do discriminante:
Δ = b² - 4ac
Δ = 4² - 4·1·(- 45)
Δ = 16 + 180
Δ = 196
x² = y
Se y = 5, temos:
x² = 5
x = ±√5
Se y = - 9, temos:
x² = - 9
x = ±√-9
Não há solução no conjunto dos números reais.
Portanto, essa equação só possui 2 raízes reais: √5 e - √5.
As quatro raízes são números irracionais, pois não podem ser escritos na forma de fração.
A soma dessas raízes reais é: + √5 + (- √5) = √5 - √5 = 0.
O produto dessas raízes reais é: (+ √5) · (- √5) = - √25 = - 5.