4. (UFMG) A função f(x) do segundo grau tem raízes 3 e 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico de f(x), é igual a 8.
A única afirmativa VERDADEIRA sobre f(x) é
- f(x) = -2(x-1)(x+3)
- f(x) = -(x-1)(x+3)
- f(x) = -2(x+1)(x-3)
- f(x) = (x-1)(x+3)
- f(x) = 2(x+1)(x-3)
Resposta: A
Resolução: Sabe-se que x₁ = -3, x₂ = 1 e que Yv = 8.
Tomando a forma genérica: f(x) = a(x-x₁)(x-x₂), deve-se substituir os valores das raízes. Logo:
f(x) = a(x-(-3))(x-1)
f(x) = a(x+3)(x-1)
f(x) = a(x²-x+3x-3)
f(x) = a(x²+2x-3)
f(x) = ax²+2ax-3a
Resta saber qual o valor de a. Para isso, utilizaremos a fórmula da ordenada do vértice:
Yv = -Δ/4a
Sabe-se também que Δ = b² - 4.a.c
Nesse caso, Δ= (2a)² - 4.(a).(-3a) = 4a² + 12a² = 16a²
Substituindo os valores de Yv e Δ, tem-se:
8 = -(16a²)/4a
8 = -16a/4
8.4 = -16a
32 = -16a
a = 32/-16
a = -2
∴ f(x) = a(x-x₁)(x-x₂) = -2(x+3)(x-1) ou -2(x-1)(x+3)