10. (UECE) Se n rapazes e n garotas saem para dançar, de quantas maneiras todos eles podem dançar simultaneamente, formando duplas com pessoas de sexos opostos?
- n!.
- 2(n!).
- (n!)2 .
- (2n)!.
Resposta: A
Resolução: Na primeira dupla teremos n opções de homens e n de mulheres, logo teremos n² duplas possíveis
Já na segunda, teremos (n-1) opções de homens e (n-1) opções de mulheres, então teremos (n-1)² duplas possíveis
Seguindo esse padrão, obteremos n² * (n-1)² * (n-2)² * (n-3)²...
Colocando o quadrado em evidência, obtemos a seguinte expressão:
[n * (n-1)*(n-2)*(n-3)*...]²
Note que dentro dos colchetes nós temos o fatorial de "n", então reescrevendo:
(n!)²
Porém precisamos dividir pelo fatorial do número de casais para eliminar as repetições:
(n!)²/n! = n!