(Fuvest) O polinômio x⁴+x²-2x+6 admite 1+i como raiz, onde i²=-1. O número de raízes reais deste polinômio é:

Resolução: Esse polinômio possui todos os seus coeficientes reais. Então se 1 + i é raiz desse polinômio, então sua conjugada, ou seja, 1 - i também é raiz.

Vamos fatorar isso. Lembrando que na fatoração temos as raízes e uma equação do segundo grau.

(x - 1 - i)(x - 1 + i)(ax² + bx + c) = x⁴ + x² - 2x + 6

Temos uma diferença de quadrados ali. Assim...

(x² - 2x + 1 + 1)(ax² + bx + c) = x⁴ + x² - 2x + 6

(x² - 2x + 2)(ax² + bx + c) = x⁴ + x² - 2x + 6

ax⁴ + bx³ + cx² - 2ax³ - 2bx² - 2cx + 2ax² + 2bx + 2c = x⁴ + x² - 2x + 6

a = 1

b - 2a = 0 -> b - 2 = 0 -> b = 2

c - 2b + 2a = 1 -> c - 4 + 2 = 1 -> c - 2 = 1 -> c = 3

Para confirmar...

- 2c + 2b = - 2 -> - 6 + 4 = - 2 (Verdadeiro.)

2c = 6 -> c = 3 (Verdadeiro.)

Então a forma fatorada é assim:

(x - 1 - i)(x - 1 + i)(x² + 2x + 3)

Quais são as raízes dessa equação? Vamos descobrir.

∆ = 4 - 12 = - 8

x = - 2 + 8i / 2 = - 1 + 4i

ou

x = - 2 - 8i / 2 = - 1 - 4i