ITA 2024: Matemática

37. (ITA 2024) Sejam A, B, C ⊆ R tais que C ⊆ A. Considere as afirmações:

I. (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C).

II. A ∩ B = C ∪ (B ∩ (R − C)).

III. A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − C.

É (São) VERDADEIRA(S):

1. apenas I e II.
2. apenas I e III.
3. apenas II.
4. apenas III.
5. I, II e III.

38. (ITA 2024) Sejam A; B; C; D ∈ Mn(R). Considere o sistema linear

nas variáveis X; Y ∈ Mn(ℝ). Considere as afirmações:

I. Se det A = 0 ou det D = 0, então o sistema é impossível.

II. Se A = B, então o sistema possui uma única solução.

III. O sistema possui uma única solução apenas se A e D são inversíveis.

É (São) VERDADEIRA(S):

1. apenas I.
2. apenas II.
3. apenas III.
4. apenas II e III.
5. nenhuma.

39. (ITA 2024) Determine o valor de

1. 17/25
2. 4/5
3. 24/25
4. 28/25
5. 31/25

40. (ITA 2024) Considere o conjunto:

A = {1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256}:

Qual o menor n ∈ ℕ tal que todo subconjunto de A com n elementos contenha pelo menos

um par cujo produto seja 256?

1. n = 5.
2. n = 6.
3. n = 7.
4. n = 8.
5. n = 9.

41. (ITA 2024) Considere o conjunto C = {1; 2; 3; 4; 5}. Para cada escolha possível de a0, a1, a2, a3, a4 ∈ C, dois a dois distintos, formamos o polinômio

a0 + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴:

A soma das raízes, contadas com multiplicidade, de todos os polinômios formados nesse processo é igual a:

1. − 17125/4.
2. −1800.
3. −360.
4. − 351/2.
5. − 101/4.

42. (ITA 2024) O valor de k ∈ R de modo que as raízes do polinômio p(x) = x³ + 3x² −6x + k estejam em progressão geométrica é:

1. −18.
2. −16.
3. −8.
4. −2.
5. −1.

43. (ITA 2024) Considere um cilindro circular reto tal que a área da sua base A1, a área da sua superfície lateral A2 e o seu volume A3 formem, nesta ordem, uma progressão geométrica crescente. A medida do raio da base pode estar no intervalo:

44. (ITA 2024) Um poliedro convexo tem 24 vértices e 36 arestas.

Sabemos que cada vértice une 3 faces e que o número de arestas em cada face só pode assumir um entre dois valores m ou n. É CORRETO afirmar que:

1. é possível que m = 3 e n = 4.
2. é possível que m = 3 e n = 5.
3. é possível que m = 3 e n = 7.
4. é possível que m = 3 e n = 8.
5. é possível que m = 4 e n = 5.

45. (ITA 2024) Considere um triângulo ABC e M o ponto médio do lado BC. Tome o ponto R 6= A na reta AB tal que m(AB) = m(BR) e o ponto Q na reta AC tal que m(AC) = 2 m(CQ) e Q não esteja no segmento AC. A reta RM corta o lado AC no ponto S e a reta QM corta o lado AB no ponto P.

Sendo 24 a área do triângulo ABC, o valor da área do quadrilátero APMS vale:

1. 15.
2. 16.
3. 17.
4. 18.
5. 19.

46. (ITA 2024) Sejam a = 1+3√ 3i e b = 2√ 3+4i números complexos. O menor valor m ∈ N tal que a ^m = b ^m é:

1. 6.
2. 8.
3. 10.
4. 12.
5. não existe m ∈ ℕ satisfazendo esta igualdade.

47. (ITA 2024) Considere o triângulo de vértices .

A equação da reta que passa por B e é perpendicular à bissetriz do ângulo ABC é:

48. (ITA 2024) Considere a elipse dada pela equação

&3164; λx² + (λ + 4)y² − 4λx − (10λ + 40)y + 25(λ + 4) − λ² = 0;

e o círculo de equação

x² + y² − 4x − 12y + 36 = 0:

Estando o interior do círculo inteiramente contido no interior da elipse, o valor de – ∈ R − {−4; 0} quando a excentricidade da elipse é máxima é igual a:

1. 3.
2. 5.
3. 9.
4. 13.
5. 15