IME 2022: Matemática

16. (IME 2022)

A figura mostra uma pequena esfera carregada, interligada por um cabo de comprimento L, inextensível e de massa desprezível, que gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular ω. O movimento da esfera ocorre numa região submetida a um campo elétrico uniforme E^→, conforme indicado na figura.

Dados:

• massa da esfera: m = 50 g;

• carga elétrica da esfera: q = −10 C;

• intensidade do campo elétrico: |E^→| = 0,07 N/C;

• velocidade angular do eixo: ω = 120 rpm;

• comprimento do cabo: L = 30 cm;

• aceleração da gravidade: g = 10 m/s²; e

• π²≈ 10.

Observação:

• a espessura do eixo vertical é desprezível.

O ângulo θ formado entre o cabo e o eixo é aproximadamente:

1. 75°
2. 60°
3. 45°
4. 30°
5. 15°

17. (IME 2022)

Conforme ilustrado na figura, uma fonte localizada na extremidade de um anteparo, que é reflexivo e tem a forma de uma semi-circunferência, emite raios luminosos de comprimento de onda constante, em fase, em todas as direções.

Observações:

• para cada ponto da semi-circunferência, considere apenas o efeito da interferência de uma única reflexão, como exemplificado na figura; e

• considere que, na reflexão, o raio luminoso sofra uma inversão de fase.

Sabendo que a razão entre o raio da semi-circunferência e o comprimento de onda é 30, o número N de máximos locais de interferência que serão observados no anteparo é tal que:

1. N < 5
2. 5 ≤ N < 12
3. 12 ≤ N < 21
4. 21 ≤ N < 27
5. 727 ≤ N

18. (IME 2022) Uma fonte sonora A, que emite um som de frequência constante, e um observador B estão próximos um do outro e movem-se lentamente de acordo com as equações temporais no Plano XY mostradas abaixo:

XA = cos(t) + log(1 + t)

YA = 2t + 3

XB = log(1 + t) − sen(t)

YB = 2t − 1

Considerando que a fonte sonora emita um som de frequência constante, a frequência percebida pelo observador, dentre as opções, é desprovida de efeito Doppler quando o instante t for:

1. 0
2. π/6
3. π/2
4. 3π/4
5. π

19. (IME 2022)

Um prisma possui um ângulo agudo α e índice de refração variável de acordo com a expressão:

n(λ) = A + B/λ²

em que A e B são constantes e λ é o comprimento de onda.

Uma luz branca vinda do ar (n0 = 1) incide sobre a face vertical do prisma e sofre dispersão cromática no seu interior, voltando para o ar ao sair do prisma. Tal luz, possui componentes espectrais no intervalo: λ1 ≤ λ ≤ λ2.

Consideração:

• os ângulos θ0 e α são tão pequenos que a aproximação sen(x) ≅ x é válida, para x = θ₀ ou x = α.

Diante do exposto, a maior abertura angular ∆θ entre as componentes espectrais é aproximadamente:

20. (IME 2022)

fonte: https://pages.mtu.edu/∼suits/SpeedofSoundOther.html

A tabela mostra a velocidade v do som, a 20 oC e 1 atm, em seis gases diferentes. Quando um tubo aberto em uma das extremidades é enchido com oxigênio, a frequência do primeiro harmônico do som produzido pelo tubo é 163 Hz. Quando o oxigênio é substituído por um dos cinco gases restantes, a frequência do quinto harmônico do som produzido pelo tubo é 2517,5 Hz. Isso significa que o gás escolhido para o segundo experimento foi o:

1. argônio
2. criptônio
3. hélio
4. hidrogênio
5. xenônio

21. (IME 2022) Um aluno está em uma nave (referencial S') que viaja a uma velocidade v relativa ao professor (referencial S'). Em t = t' = 0 (tempo em cada um dos referenciais), a nave passa pelo professor e o aluno inicia uma prova de física. Em t = τ, um pulso de luz é emitido pelo aluno até o professor e é refletido de volta à nave, quando então a prova é encerrada. Sabendo que a velocidade da luz é c e que γ = 1/ $\sqrt{1-\mathrm{v²}/\mathrm{c²}}$, a duração da prova no referencial do professor é:

1. γτ/(1 − v/c)
2. (1 + v/c)γτ
3. γτ/(1 + v/c)
4. γτ (1 − v/c)/(1 + v/c)
5. γτ (1 + v/c)/(1 − v/c)

22. (IME 2022)

Um bloco cúbico homogêneo de aresta L parte do repouso em uma rampa de altura h. O bloco desliza sem atrito até que seu vértice P alcance a coordenada x = 0 em uma superfície plana.

Sabendo que o coeficiente de atrito cinético é µ para x ≥ 0, a coordenada xP do vértice P em que o bloco estaciona, considerando que xP ≥ L, é:

1. $\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{\mu }}$ + $\frac{\mathrm{L}}{2}$
2. $\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{\mu }}$ - $\frac{\mathrm{L}}{2}$
3. $\sqrt{\frac{hL}{\mathrm{\mu }}+\frac{L}{2}}$
4. $\sqrt{\frac{2hL}{\mathrm{\mu }}}$
5. $\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{\mu }}$

23. (IME 2022)

O sistema da figura acima é composto por duas barras articuladas B₁ e B₂, uma roldana R e um fio inextensível, todos de massa desprezível, e dois objetos carregados eletricamente O₁ e O₂. O₁ e O₂ estão fixados cada um a uma extremidade livre do fio e também à extremidade livre de B₁ e B₂, respectivamente. O sistema encontra-se em equilíbrio e está estático na posição mostrada na figura

Dados:

• comprimento total do fio = 31 m;

• massa de O₁ = 4 kg;

• massa de O₂ = 12 kg; e

• aceleração da gravidade: g = 10 m/s².

Considerações:

• os objetos O₁ e O₂ estão carregados eletricamente com cargas opostas;

• as dimensões de O₁, O₂ e da roldana são desprezíveis; e

• B₁ e B₂ estão paralelas ao eixo horizontal.

Diante do exposto, o módulo da força elétrica entre os objetos O₁ e O₂, em N, é aproximadamente:

1. 18
2. 20
3. 23
4. 26
5. 30

24. (IME 2022) Você está desenvolvendo um sistema embarcado autônomo para desinfecção de ambientes. O sistema é composto por um carrinho elétrico com uma lâmpada e uma bateria. Para que o processo de desinfecção funcione apropriadamente, o sistema deverá deslocar-se com velocidade constante por um piso rugoso.

Dados:

• massa do carrinho: 6 kg;

• massa da bateria: 4 kg;

• tensão da bateria: 24 V;

• massa da lâmpada: 2 kg;

• coeficiente de atrito cinético: 0,2;

• aceleração da gravidade: 10 m/s²;

• velocidade do sistema: 0,5 m/s; e

• potência da lâmpada: 96 W. Considerações:

• as perdas do motor do carrinho são desprezíveis; e

• a energia da bateria necessária para fazer o carrinho chegar a velocidade de funcionamento do sistema é desprezível.

Sabendo que a bateria fornece energia para o carrinho e para a lâmpada e que, para a perfeita desinfecção da sala, o sistema deve trabalhar durante 90 minutos, a mínima capacidade da bateria do sistema, em mAh, é:

1. 6370
2. 6375
3. 6500
4. 6625
5. 6750

25. (IME 2022)

As Figuras 1 e 2 apresentam, respectivamente, as formas de onda da tensão V_carga(t) e da corrente i_carga(t) sobre o dispositivo eletrônico hipotético da Figura 3. Para o instante de tempo t = 3s, a potência fornecida ao circuito pela fonte de tensão (VF), em W, é:

1. − 45
2. 45
3. − 57
4. 57
5. 60

26. (IME 2022)

Um objeto de formato cúbico, com aresta de comprimento L e de massa específica µ_obj, encontrase apoiado no fundo do mar, devendo ser içado por meio de um balão de borracha de massa m_b, que apresenta volume interno V de ar ajustável. A figura ilustra a situação descrita, com o centro do balão posicionado a 10 m de profundidade. O volume V do balão, em m³, relaciona-se com a diferença de pressão ∆p, em atm, entre a pressão interna e a externa do balão pela seguinte equação:

∆p = 1,4V² − 1,2V + 1,8

para 1≤ V ≤3.

Dados:

• massa do balão: m_b = 50 kg;

• massa do cabo: m_c = 100 kg;

• comprimento da aresta do objeto cúbico: L = 1 m;

• aceleração da gravidade: g = 10 m/s²;

• massa específica do objeto: µ_obj = 2850 kg/m³;

• massa específica da água: µ_agua = 1000 kg/m³; e

• 1 atm = 10⁵ Pa.

Observações:

• o ar acima da superfície da água encontra-se a 1 atm de pressão;

• desconsidere o volume do cabo e a massa do ar internamente ao balão; e

• para efeito do cálculo da pressão hidrostática sobre o balão, considere que todo o volume V esteja posicionado na mesma profundidade de seu centro.

A pressão interna mínima do balão, em atm, a partir da qual será iniciado o movimento do objeto é:

1. 3,0
2. 4,2
3. 5,5
4. 7,0
5. 8,5

27. (IME 2022)

Em um experimento, dois objetos de massas m₁ e m₂ partem, respectivamente, das posições 0 e 30 m do mesmo eixo horizontal. Suas velocidades são programadas de acordo com os gráficos lineares mostrados nas Figuras 1 e 2, até que, na iminência de colisão perfeitamente inelástica entre elas, o sistema de controle das velocidades é desativado, mantendo-se a inércia de seus movimentos.

A razão m₂/m₁ para que, após a colisão, os objetos retornem unidos à posição 0 e com velocidade constante de módulo 2 é:

1. 1/7
2. 1/5
3. 1/3
4. 3/7
5. 3/5

28. (IME 2022) Um engenheiro recebe a tarefa de elaborar um anteprojeto para estabelecer alguns parâmetros de desempenho referentes a uma usina termelétrica a carvão que será empregada em situações emergenciais. Esta usina trabalhará segundo um ciclo termodinâmico e, em seu estudo, o engenheiro estabelece as afirmativas abaixo:

Afirmativa I: Se a temperatura da fonte fria for de 300 K e se o ciclo apresentar rendimento real correspondente a 75% do rendimento do Ciclo de Carnot associado, então a temperatura da fonte quente será de 750 K, para as condições de projeto.

Afirmativa II: A taxa de transferência de calor para a fonte fria nas condições de projeto será de 55/3 MW.

Afirmativa III: Nas condições de projeto, o consumo de carvão necessário para garantir o funcionamento ininterrupto da usina durante uma semana será de 560 toneladas.

Condições de projeto:

• rendimento do ciclo: 45 %;

• calor de combustão do carvão: 36 kJ/g; e

• potência disponibilizada pela usina: 15 MW.

Diante do exposto, está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):

1. I, apenas.
2. II, apenas.
3. I e III, apenas.
4. I e II, apenas.
5. I, II e III.

29. (IME 2022) Um planeta P₁ foi arremessado de sua órbita original O₁ ao redor de sua estrela S₁ no Sistema Solar 1 e desde então vaga pelo Universo com velocidade constante v₁. Em um determinado momento, ao passar pelo Sistema Solar 2, P1 se choca frontalmente com um planeta P₂, que se encontra no afélio de sua órbita O₂ em torno de sua única estrela, S₂. O choque entre os dois planetas é perfeitamente inelástico e resulta na criação de um novo planeta P₃.

Dados:

• módulo da velocidade tangencial de P₂ no afélio de O₂ : v₂ ;

• módulo da velocidade de P1 : v1 = 3v2 ;

• massa de P₁ = 10−8 x massa da estrela S₂ ; e

• massa de P₂ = massa deP₁. Sobre a órbita O₃ de P₃ em torno de S₂, é verdadeiro afirmar que:

Sobre a órbita O3 de P3 em torno de S2, é verdadeiro afirmar que:

1. o período de sua órbita O3 é igual ao da órbita O₂ de P₂.
2. o período de sua órbita O₃ é maior que o da órbita O₂ de P₂.
3. o período de sua órbita O₃ é menor que o da órbita O₂ de P₂.
4. não haverá órbita O₃, pois o planeta P₃ irá de encontro à estrela S₂.
5. não haverá órbita O₃, pois o planeta P3 escapará de sua órbita em torno de S₂.

30. (IME 2022)

Um feixe de elétrons penetra em uma região, dividida em camadas espaçadas de acordo com as dimensões mostradas na figura, que está sujeita a um campo magnético heterogêneo. Em cada camada, a direção e o sentido do campo magnético mudam (vide figura), mas seu módulo será sempre constante. Note que na figura existem áreas desprovidas de campo magnético. Sabendo que, após passar pela primeira camada, o feixe descreve um arco de 1/8 de circunferência, ele sairá na camada 10 no ponto:

1. I
2. II
3. III
4. IV
5. V