UFPR 2023: Matemática

10. (UFPR) Considere as equações 𝒂 + 𝒃 = 𝒄² e 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟐𝟎. Assinale a alternativa que corresponde à quantidade de triplas ordenadas (𝒂, 𝒃, 𝒄) que satisfazem simultaneamente essas duas equações, sendo 𝒂, 𝒃, 𝒄 números inteiros positivos.

1. 11.
2. 12.
3. 13.
4. 14.
5. 15.

11. (UFPR) O Índice de Massa Corporal (IMC) de uma pessoa adulta é dado pela fórmula:

Admitindo-se que a altura de uma pessoa adulta é constante, se, durante um ano, ela aumentar sua massa, então é correto afirmar que nesse período o gráfico de seu IMC em função de sua massa é parte de uma:

1. reta horizontal.
2. reta crescente.
3. curva crescente côncava para cima.
4. parábola.
5. senoide.

13. (UFPR) Na figura ao lado, tem-se duas circunferências que se tangenciam no ponto 𝑸. Os raios dessas circunferências são 𝑹𝟏 e 𝑹𝟐, com 𝑹𝟏 < 𝑹𝟐. Cada uma das retas 𝒓 e 𝒔 é tangente simultaneamente às duas circunferências; adicionalmente, essas retas se intersectam no ponto 𝑷.

Qual é a distância entre os pontos 𝑷 e 𝑸?

1. 𝟐 $\frac{\mathrm{𝑹1+𝑹2}}{\mathrm{𝑹2-𝑹1}}$
2. 𝟐 $\frac{\mathrm{𝑹2-𝑹1}}{\mathrm{𝑹1𝑹2}}$
3. 𝟐 $\frac{\mathrm{𝑹1+𝑹2}}{\mathrm{𝑹2𝑹1}}$
4. 𝟐 $\frac{\mathrm{𝑹2-𝑹1}}{\mathrm{𝑹1+𝑹2}}$
5. 𝟐 $\frac{\mathrm{𝑹1𝑹2}}{\mathrm{𝑹2-𝑹1}}$

14. (UFPR) Sejam 𝒓 e 𝒔 retas no plano cartesiano que são perpendiculares e se intersectam no ponto (3,3). Sabendo-se que a reta 𝒓 intersecta o eixo 𝒙 no ponto (2,0), assinale a alternativa que corresponde ao valor numérico da área do triângulo delimitado pelas retas 𝒓 e 𝒔 e pelo eixo 𝒙.

1. 12.
2. 15.
3. 21.
4. 24.
5. 30.

15. (UFPR) Ana, Beatriz e Carlos escolhem lugares para se sentar em uma mesa hexagonal regular.

Cada lugar corresponde a um dos lados do hexágono, que estão numerados de 1 a 6, conforme a figura ao lado. Os lados 1 e 4 são considerados lados opostos na mesa, assim como 2 e 5, e 3 e 6. De quantas formas diferentes Ana, Beatriz e Carlos podem escolher os lugares numerados de modo que nenhum deles fique sentado ao lado oposto do outro?

1. 48.
2. 36.
3. 24.
4. 12.
5. 8.

16. (UFPR) Os ângulos internos de um polígono convexo de 20 lados estão em progressão aritmética com razão de 4° (graus).

Qual é o produto em graus entre o maior ângulo interno e o menor ângulo interno desse polígono?

1. 20800.
2. 22600.
3. 24800.
4. 26600.
5. 26800.

17. (UFPR) As únicas raízes reais do polinômio 𝒑(𝒙) dado pelo determinante abaixo são –2 e –1.

Sabendo-se que o polinômio 𝒒(𝒙) = 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 (com 𝒂, 𝒃 e 𝒄 constantes) tem as mesmas raízes reais de 𝒑(𝒙), é correto afirmar que

1. 𝑏² − 4𝑎𝑐 < 0 e α > $\frac{3}{4}$
2. 𝑏² − 4𝑎𝑐 < 0 e α < $\frac{3}{4}$
3. 𝑏² − 4𝑎𝑐 > 0 e α < $\frac{3}{4}$
4. 𝑏² − 4𝑎𝑐 > 0 e α > $\frac{3}{4}$
5. 𝑏² − 4𝑎𝑐 > 0 e α = $\frac{3}{4}$

18. (UFPR) Na figura ao lado, tem-se um reservatório no formato de um cone circular reto com altura 𝒉 e área do topo igual a 12 𝒎². Esse reservatório está sendo preenchido com um líquido cujo volume em 𝒎³ é dado por:

𝑽(𝒕) = 𝒍𝒐𝒈_𝟐 (𝒕² + 𝟏)

sendo 𝒕 ≥ 𝟎 o tempo. Em quanto tempo o líquido atingirá metade da capacidade desse reservatório?

1. 𝒕 = $\sqrt{4^h-1}$.
2. 𝒕 = 2^h - 1.
3. 𝒕 = $\sqrt{4^h-1}$.
4. 𝒕 = 4^h - 1.
5. 𝒕 = $\sqrt{4^h-1}$.